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  • Sous-espace vectoriel

    Formulaire de report



    Définition

    Définition :
    On dit que \(F\) est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel \(E\) si \(F\) est un sous ensemble non vide de \(E\) qui est stable par \(+\) et par la multiplication par un scalaire
    (Ensemble vide)

    Caractérisation

    Proposition :
    \(F\) est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel \(E\) si les conditions suivantes sont respectées :
    1. \(0_E\in F\)
    2. \(\forall\lambda,\mu\in\Bbb R,\forall u,v\in F,\lambda u+\mu v\in F\)
    (Combinaison linéaire)

    Propriétés


    Espace vectoriel

    Un sous-espace vectoriel constitue lui-même un Espace vectoriel
    Famille liée
    Famille libre - Famille linéairement indépendante
    Base (algèbre linéaire)
    Exercice : ^[indiquer si \(F=\left\{\begin{pmatrix}0&a\\ -a&0\end{pmatrix}:a\in\Bbb R\right\}\) est un sous-espace de \(E=\operatorname{Mat}_{2\times2}(\Bbb R)\)
    $$\begin{align}&0_E=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&0\end{pmatrix}\\ &\text{avec }a=0,\text{ on a bien }0_E\in F\\ &\text{calculons }\lambda u+\mu v\text{ avec }u=\begin{pmatrix}0&a_1\\ -a_1&0\end{pmatrix}\text{ et }\begin{pmatrix}0&a_2\\ -a_2&0\end{pmatrix}:\\ &\lambda u+\mu v=\begin{pmatrix}0&\lambda a_1+\mu a_2\\ -\lambda a_1-\mu a_2&0\end{pmatrix}\in F\text{ si }a=\lambda a_1+\mu a_2\\ &\text{donc }F\text{ est bien un sous-espace vectoriel de }E\end{align}$$]
    Opération élémentaire sur une liste de vecteurs
    Somme de sous-espace L'Intersection de deux sous-espaces vectoriels est aussi un sous-espace vectoriel

    Exercices

    Montrer que l'ensemble \(E\) est un sous-espace vectoriel de \({\Bbb R}^3\) : $$E=\{(x,y,z)\in{\Bbb R}^3\mid x+y+z=x+y-z=0\}$$

    Décomposer en équations linéaires
    $$E=\{(x,y,z)\in{\Bbb R}^3\mid x+y+z=0\}\cap \{(x,y,z)\in{\Bbb R}^3\mid x+y-z=0\}$$

    Conclusion

    \(E\) est l'intersection de deux plans distincts (équations non proportionnelles), donc \(E\) est une droite et \(E\) est un sous-espace vectoriel de dimension \(1\)

    (Plan, Intersection, Droite)


    Soit \(E\) un \({\Bbb C}\)-espace vectoriel et soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces
    Montrer que si \(F\cup G\) est un sous-espace vectoriel, alors \(F\subset G\) ou \(G\subset F\)

    Contraposée
    On raisonne par contraposition
    Montrons que si \(F\not\subset G\) et \(G\not\subset F\), alors \(F\cup G\) n'est pas un sous-espace vectoriel

    Par l'absurde
    Supposons par l'absurde que \(F\cup G\) est un sous-espace vectoriel
    Alors on a \(f+g\in F\cup G\), avec \(f\in F,f\notin G\) et \(g\notin F,g\in F\)

    Donc soit \(f+g\in F\), soit \(f+g\in G\)

    • si \(f+g\in F\), alors \(f+g-f=g\in F\), ce qui est faux
    • si \(f+g\in G\), alors \(f+g-g=f\in G\), ce qui est faux

    La proposition est donc démontrée

    (Union - Réunion)


    Soit \(E\) un \({\Bbb C}\)-espace vectoriel et soient \(F\), \(G\) et \(H\) trois sous-espaces
    Montrer que $$G\subset F\implies F\cap(G+H)=G+(F\cap H)$$

    On raisonne par double inclusion

    \(\subset\) : un élément de \(F\cap(G+H)\) s'écrit : $$f=g+h\quad\text{ avec }\quad f\in F,g\in G,h\in H$$

    On a \(f,g\in F\) donc \(h=f-g\in F\)

    Comme \(h\in H\) et \(h\in F\), on a \(h\in F\cap H\)

    Comme \(f=g+h\) avec \(g\in G,h\in F\cap H\), on a bien \(f\in G+(F\cap H)\)

    \(\supset\) : un élément de \(G+(F\cap H)\) s'écrit $$g+k\quad\text{ avec }\quad g\in G,k\in F\cap H$$

    Arriver par une suite d'inclusions à \(g+k\in F\cap(G+H)\)

    Comme \(g\in G\) et \(G\subset F\), on a \(g\in F\)
    Comme \(g\in F\) et \(k\in F\), on a \(g+k\in F\)
    Comme \(g\in G\) et \(k\in G\), on a \(g+k\in G+H\)
    Donc \(g+k\in F\cap(G+H)\)
    On a bien démontré la proposition par double inclusion

    (Double inclusion)


    Soient $$v_1=\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}\quad\text{ et }\quad v_2=\begin{pmatrix} a^\prime \\ b^\prime \\ c^\prime \end{pmatrix}$$ deux vecteurs indépendants de \({\Bbb R}^3\)
    Donner, sous forme d'équation, une condition nécessaire et suffisante pour qu'un vecteur \(w=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}\) appartienne à l'espace vectoriel engendré par \(v_1\) et \(v_2\)

    Déterminant nul

    $$\begin{align} w\in\operatorname{Vect}(v_1,v_2)&\iff\begin{vmatrix} a&a^\prime &x\\ b&b^\prime &y\\ c&c^\prime &z\end{vmatrix}=0\\ &\iff(bc^\prime -b^\prime c)x+(a^\prime c-ac^\prime )y+(ab^\prime -a^\prime b)z=0\end{align}$$

  • Rétroliens :
    • Annulateur
    • Code linéaire
    • Ensemble des combinaisons linéaires
    • Espace L2 - Ensemble des signaux d'énergie finie
    • Espace tangent
    • Espace vectoriel
    • Formule de Grassmann
    • Hyperplan
    • Image (algèbre linéaire)
    • Noyau - Espace nul (algèbre bilinéaire)
    • Noyau - Espace nul (algèbre linéaire)
    • Orthogonal
    • Projection orthogonale (sous-espace vectoriel euclidien)
    • Prolongement sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
    • Sous-espace vectoriel des fonctions polynômiales
    • Théorème de Hahn-Banach